053.哥德尔不完备定理!

事实上,卢格安使用的证明方法和哥德尔在1931年使用的方法并不相同。

虽然哥德尔原本的证明,也是将一个自指的语义悖论在自然数中严谨地构造出来。

但不一样的是,哥德尔选择的悖论是:“这句话不可证”,而卢格安选择的则是“贝里悖论”。

用“贝里悖论”证明不完备定理,是由后来的麻省理工学院逻辑学教授GeeBoolos最先提出的。

因为Boolos教授在证明中给出了某一些不可证陈述的形式,所以这种方法相比哥德尔的方法要高明一些,证明过程也更加简洁。

卢格安在仔细斟酌一番后,最终还是抛弃了哥德尔的方法,选用了“贝里悖论”。

“那么到这里,诸位对贝里悖论和它的三个结论没有问题了吧?”

好不容易挣脱开伊蕾亚“魔爪”的卢格安,将伊蕾亚不安分的小手死死攥在手里,脸上重新露出了自信的笑容。

“如果没有,那么我们就进行下一步证明了……”

金乌在不知不觉间划过天际,在苍穹之顶画出一道金色的轨迹,最终归于汤谷扶桑。

是夜,寒江自碧,月蟾高挂,弦月如弓。

希尔伯特研究所内,教室的讲台上,卢格安不知从哪搬了一把椅子,靠在椅背上侃侃而谈。

而台下一众教授级大学者则如同小学生一般正襟危坐,认真地听着卢格安的讲授。

哥德尔不完备定理的内容并不复杂,但想要证明它,就一定要实现数学命题的“自我言说”,这需要用到极为高明的数学技巧。

哪怕在场这些学者的水平都极高,想要跟上卢格安的思路,也必须要全神贯注才行!

“然而由定理知所有全可计算函数其算法的x配数组成的集合,并不是半可判定的。

然而这个集合包含P函数,所以存在一个可计算函数,我们不能证明其是否是全可计算函数,故而我们可以得出结论:

对于任何包含了自然数的自洽公理系统,存在一个公理系统中的陈述,使得其在此公理系统中不可证。”

随着卢格安话音刚落,伊蕾亚也停下书写,握着粉笔的右手微微颤抖。

这一天下来,这块黑板写了擦,擦了写,甚至连它本来的颜色都看不出来了!

虽然期间有卢格安帮忙,但在黑板上连续写这么长时间,做为女性的伊蕾亚终究还是遭不住。

注意到这一点的卢格安赶紧起身,将座位让给伊蕾亚。

他自己则站到伊蕾亚身后,为伊蕾亚轻轻按揉着肩膀,以此减轻她的肌肉酸痛。

看着疲惫到连话都说不出来的女孩,卢格安有些心疼。

该死的,偌大的哥廷根大学竟然连一个投影仪都没有!亏你们还是德意志最有钱的大学!

卢格安叹了口气,一边帮伊蕾亚按摩着肩膀,一边为今天的“讲座”定下最终结论。

“以上的内容,我称之为不完备定理。

真与可证是两个概念。可证的一定是真的,但真的不一定可证。

所以,证明论是绝对不会成功的。”

说罢,卢格安便不再去理会台下一众呆若木鸡的教授,把注意力集中在伊蕾亚身上。

卢格安蹲在女孩面前,双手捧起女孩颤抖的右手,轻轻按捏着。

“辛苦了,伊蕾亚。”

伊蕾亚无力地摇摇头,露出一个虚弱的微笑,嘴上却仍不忘开玩笑地问道:“那你打算怎么补偿我?”

“一会去喝一杯?”

伊蕾亚眨眨眼睛,明知故问地笑问道:“喝什么?咖啡吗?”

“没有酒精的饮品和水有什么区别?”说着,卢格安故意露出一个‘邪恶’的笑容:“放心,这次我会点一箱伏特加。”

“去你的。”

女孩风情万种地白了卢格安一眼,嘴角却遮掩不住笑意。

就在台上年轻男女旁若无人地调笑时,台下,一众教授终于回过神来。

“不完备定理……不完备定理……”

有一个中年教授紧紧抓着头发,双眼空洞地望着自己的脚尖,脸上露出一个痛苦的表情:“难道数学界坚持了400多年的观点是错的吗?”

听到这位教授痛苦的反问,周围的教授沉默不语。

自从文艺复兴时期开始,笛卡尔,莱布尼茨这些大数学家就想要找到一个可以解决一切问题的理论。

此后,几乎每一代数学家都把它做为数学界的最终理想,并且不懈地为之努力。

符号逻辑,集合论,元数学……随着一个个数学体系逐渐成熟,眼看着证明论计划将在他们这一届成功。

结果卢格安却突然蹦出来,告诉他们,数学界坚持了几百年的事情是错的?

这如何不让这些学者痛苦万分?

角落处,希尔伯特佝偻着身体,血丝横布的眼睛中满是不敢置信和痛苦的挣扎。

他伸手摘下那顶滑稽的粉色渔夫帽,露出了一头稀疏的白发银丝。这一刻,希尔伯特好像瞬间苍老了几十岁。

他今年已经57岁了,最多还有十年就会退休。

希尔伯特本想在退休前将证明论计划的框架彻底完成,并把它公布出去,邀请全世界学者完成它的同时,也为哥廷根大学留下一个永不熄灭的火种。

只要证明论计划还在一天,哥廷根大学就会做为“世界数学中心”一天不动摇!

但没想到,还没等他走完第一步,就迎来了当头一击。

希尔伯特长叹了口气,看着台上那对年轻的男女,无奈地摇摇头。

后生可畏,后生可畏啊!

虽说不完备定理的打击让希尔伯特有些消沉,但他终究还是世界上最顶尖的数学家,一项颠覆性理论的出世总归是令人高兴的。

希尔伯特抹了把脸,重新振奋精神。

“各位,现在还不是我们消沉的时候!“希尔伯特站起身来,对周围的教授们大声说道:“虽然海因里希的证明过程已经足够详细,但仍需要权威的验证,这项工作我们责无旁贷!”

接着,希尔伯特转身面向卢格安,眼中的情绪很是复杂,但他最终还是朗声说道:

“无论不完备定理最终验证结果如何,我认为海因里希先生都值得一场热烈的掌声!”

说罢,希尔伯特带头鼓起掌来。

一名名学术界有名的教授学者点点头,一个接着一个站起身,毫无保留地对卢格安抱以最热烈掌声!

在这一刻,卢格安在这些教授心目中,已经不再是一个普通的研究生,而是一名值得敬重的大数学家!

台上,伊蕾亚看着眼前这一幕,听着耳边潮水般的掌声,眼圈不自觉地泛红,点点晶莹在眼框内打转。

女孩攥起拳头,名为感动的情绪在心中横冲直撞。

终于!一个多月没日没夜的努力终于没有白费!

卢格安蹲在伊蕾亚面前,看着女孩激动到难以自已的样子,不由得露出一个发自真心的笑容。

“来吧,伊蕾亚。”

卢格安温柔地伸出手,为抹去女孩眼角的晶莹,接着拉起伊蕾亚的手,微笑着轻轻说道:“这是你应得的。”

伊蕾亚抬起头,正好对上卢格安那一眸温柔似水,难言的情绪在心中酝酿。

她不知道这种情绪究竟代表了什么,但她唯一肯定的是,这种情绪如此之强烈,以至于让她根本无法拒绝!

只见伊蕾亚用力地点点头。她微笑着,如雪莲花绽放般绚烂。徘徊在眼角的泪水终于不争气地落下来……

******

去喝酒只是一句玩笑罢了,伊蕾亚确实太疲惫了。卢格安把她送回住处后,就返回了自己的宾馆。

但当他已经站在自己房门前时,却无奈地发现,自己的钥匙好像忘在学校了,所以只好返回哥廷根大学。

深夜,哥廷根大学里一片黑暗,只有路灯的光芒盈盈闪烁。

卢格安一路来到研究所,在储物柜里找到钥匙后,刚想要离开时,却发现希尔伯特的办公室依旧亮着灯。

教授忘记关灯了吗?

卢格安如是猜测着,直接推门走进办公室,却看到一个意料之外的人。

“嗯?希尔伯特教授?您还没走?”

只见希尔伯特坐在办公桌后,眼神如木偶般呆滞地盯着杯中旋转的咖啡,不知道在想些什么。

听到卢格安的声音后,希尔伯特好像触电一样被惊醒。

“海因里希?有什么事吗?”

卢格安耸耸肩,举起手中的钥匙:“我忘记带钥匙了。”

“哦,原来如此。”希尔伯特靠回椅背上,反复低声喃喃着:“原来如此……”

看着明显情绪有些不对的希尔伯特,卢格安狐疑地询问道:“发生什么事了吗?希尔伯特教授?”

希尔伯特抬起头。

在台灯的光芒下,卢格安这才发现,希尔伯特的眼睛中满是血丝,眼角微微泛红,好像刚哭过一场般。

看着希尔伯特这副憔悴的样子,卢格安心里猛地一震!

“见笑了。”希尔伯特摇摇头,勉强挤出一个难看的笑容:“要喝点咖啡吗?哥廷根的咖啡和它的历史一样醇厚。”

卢格安盯着希尔伯特看了半晌,突然露出一个笑容。

“如果真是这样,那我可要好好尝尝了……”

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